Gianpiero Chironna

Cos’è l’SDF?

Il fattore di sconto stocastico (SDF), noto anche come deflatore di stato o martingale measure, è una funzione utilizzata per attualizzare i flussi di cassa futuri in modo tale da ottenere i prezzi correnti degli asset in un contesto stocastico. Nel caso di mercati completi e liquidi, l’SDF può essere determinato in modo univoco. Tuttavia, nei mercati incompleti,  l’SDF non è unico, e i “good-deal bounds” forniscono una metodologia per restringere l’insieme dei possibili SDF.

Procedura di Stima dell’SDF

l’approccio GDB prevede di stimare l’SDF seguendo questi passaggi principali:

1. Definizione del Mercato Completo di Riferimento

Dato un mercato completo di riferimento, rappresentato dal prezzo di un indice azionario StS_tSt​, che segue un processo lognormale dato da:

dStSt=μsdt+σsdWt\frac{dS_t}{S_t} = \mu_s dt + \sigma_s dW_tSt​dSt​​=μs​dt+σs​dWt​

Qui, μs\mu_sμs​ è il tasso di crescita atteso dell’indice, σs\sigma_sσs​ è la volatilità, e WtW_tWt​ è un moto browniano standard.

2. Stima dell’SDF nel Mercato Completo

Nel mercato completo, l’SDF Λt\Lambda_tΛt​ è associato al fattore di sconto privo di rischio e può essere espresso come:

dΛtΛt=−rdt−ϕdWt\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} = -r dt – \phi dW_tΛt​dΛt​​=−rdt−ϕdWt​

dove:

• $r$: tasso di interesse privo di rischio.
• $\varphi$: prezzo di mercato del rischio, definito come ϕ=μs−rσs\phi = \frac{\mu_s – r}{\sigma_s}ϕ=σs​μs​−r​.

3. Estensione al Mercato Incompleto

Nel mercato incompleto, l’SDF Λt\Lambda_tΛt​ viene esteso per includere un ulteriore componente di rischio legato al fattore XtX_tXt​:

dΛtΛt=dΛt∗Λt∗−VdZt\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} = \frac{d\Lambda^*_t}{\Lambda^*_t} – V dZ_tΛt​dΛt​​=Λt∗​dΛt∗​​−VdZt​

dove:

• Λt∗\Lambda^*_tΛt∗​: SDF del mercato completo.
• $V$: parametro di volatilità del mercato incompleto.
• ZtZ_tZt​: un’altra componente stocastica che cattura l’incompletezza del mercato.

4. Condizione di Good-Deal Bounds

Il concetto di “good-deal bounds” per limitare la gamma di valori possibili dell’SDF implica la seguente condizione per l’SDF:

1dtEt[(dΛtΛt)2]≤A2\frac{1}{dt} \mathbb{E}_t\left[\left(\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\right)^2\right] \leq A^2dt1​Et​[(Λt​dΛt​​)2]≤A2

dove $A$ è un parametro esogeno che rappresenta il limite massimo del rapporto di Sharpe (Sharpe ratio) tollerato per il portafoglio di mercato. Questo parametro è scelto in modo che i “good deals” (cioè opportunità di profitto eccessivo rispetto al rischio) siano esclusi.

5. Calcolo dei Limiti di Prezzo

Una volta stimato l’SDF, esso viene utilizzato per calcolare i limiti superiori e inferiori dei prezzi dei derivati. Questi limiti riflettono il massimo e il minimo valore ragionevole per il derivato in un contesto di mercato incompleto.

Conclusione

In sintesi, la stima dell’SDF inizia dal mercato completo di riferimento e introduce un ulteriore elemento di volatilità per catturare l’incompletezza del mercato. L’uso dei “good-deal bounds” aiuta a limitare l’insieme dei possibili SDF, escludendo opportunità di profitto eccessivo rispetto al rischio, e permette di calcolare limiti di prezzo realistici per i derivati. Questo approccio fornisce una metodologia robusta per il pricing in mercati dove la liquidità è limitata e l’unicità dell’SDF non è garantita.

 

Per approfondimenti si veda il lavoro di Kanamura Ohashi 2007 o Cochrane and Saa-Requejo (2000).