Come Calcolare il Prezzo di Un Opzione Call Europea?

Concetti introduttivi

Che cosa è un’opzione?
Un’opzione è uno strumento finanziario il quale permette il diritto e non il dovere, di comprare o vendere un titolo, soggetto ad alcune condizioni, entro uno specifico tempo.
Che cosa è una call?

Quando l’opzione permette di avere un diritto di acquistare un titolo (sottostante) è definita “call”. Quando invece l’opzione permette di avere un diritto di vendere un titolo è definita “put”.

La call è spesso acquistata in ipotesi che il titolo sottostante possa seguire un trend crescente. Pertanto chi acquista la call intende marginare assicurandosi un prezzo d’acquisto più basso del mercato per rivendere il sottostante al prezzo di mercato. Il margine in questo caso è dato dalla differenza del prezzo di mercato meno prezzo d’acquisto (assicurato dalla call) meno il costo della call.

La put è spesso acquistata in ipotesi che il titolo sottostante possa seguire trend decrescenti. Pertanto chi compra la put intende marginare assicurandosi il prezzo di vendita più alto rispetto a quello di mercato. Il questo caso il margine è dato dal prezzo di vendita (assicurato dalla put) meno il prezzo di mercato, meno il costo della put.
Qual è la differenza tra una Call Europea ed una Call Americana?
La differenza tra un opzione call Europea ed un opzione call Americana è che nel primo caso l’opzione può essere esercitata solo alla data di scadenza, mentre le seconde possono essere esercitate anche anticipatamente.

Condizioni Ideali per il calcolo delle opzioni
Black and Scholes quando idearono la formula per valutare le opzioni definirono un contesto “ideale” per l’applicazione della stessa, il quale prevedeva le seguenti caratteristiche:
1 – Il tasso di interesse a breve è conosciuto ed è costante nel tempo,
2 – Il prezzo dell’azione (o sottostante) segue un andamento di tipo random-walk (aleatorio) e la distribuzione dei prezzi possibili alla fine di ogni periodo sono log-normali,
3 – L’azione non paga dividendi,
4 – L’opzione è Europea, pertanto può essere esercitata solo a scadenza (at maturity),
5 – Non ci sono costi di transazione nell’acquisto o vendita di opzioni o sottostanti,
6 – È possibile prendere in prestito ogni frazione di una sottostante ad un prezzo pari al tasso di interesse a breve,
7 – Non ci sono penalità per lo short selling.

Quali sono le determinanti di un’opzione?
Le determinanti di un’opzione sono:
1 – Il valore corrente della sottostante (S),
2 – La varianza del valore del sottostante (σ^2)
3 – I dividendi pagati dall’attività sottostante (che non vedremo in questo articolo),
4 – Il prezzo d’esercizio dell’opzione o strike price, (K),
5 – La durata dell’opzione (o maturity, T)
6 – Ed il tasso d’interesse risk free corrispondente alla durata dell’opzione (r).

Effetti delle determinanti sul valore delle opzioni

Sottostante
Considerando che le opzioni traggono il proprio valore dalla sottostante, l’aumento del valore della sottostante comporterà l’aumento di valore della call e la riduzione del valore di una put.

Varianza del valore della Sottostante
Maggiore è la varianza del valore della sottostante maggiore è il valore dell’opzione sia quello della call sia quello della put. Questo perché il detentore di un opzione può beneficiare da aumenti di valore dell’attività sottostante che possono risultare più probabili se la varianza è elevata.

I dividendi
La distribuzione dei dividendi riduce il valore della sottostante, pertanto il valore dell’opzione call decrescerà allo stacco dei dividendi, mentre il valore dell’opzione put crescerà.

Prezzo d’esercizio ( o strike price)
Nel caso di una call (diritto di acquisto) il valore dell’opzione diminuisce all’aumentare del prezzo d’esercizio.
Nel caso di una put (diritto di vendita) il valore dell’opzione aumenta all’aumentare del prezzo d’esercizio.

Durata dell’opzione
Nel caso dell’aumento della durata aumenta il valore dell’opzione sia nel caso della call che nella put poiché nel tempo può variare il valore della sottostante.

Tasso d’interesse risk free.
Dato che il tasso d’interesse viene utilizzato per attualizzare il prezzo d’esercizio, all’aumentare del tasso risk free, per la call avremo un aumento di valore dell’opzione, mentre per la put avremo una riduzione.

Fattori Vs Effetti Call Put
Valore Sottostante Aumenta Diminuisce
Prezzo d’Esercizio Diminuisce Aumenta
Varianza Valore Sottostante Aumenta Aumenta
Durata Aumenta Aumenta
Tasso Risk Free Aumenta Diminuisce
Dividendi Diminuisce Aumenta

Il modello
Saltando la dimostrazione matematica della formula di Black-Scholes, si ha che il modello per calcolare il valore di un’opzione Europea che non distribuisce dividendi può essere scritta come funzione di cinque variabili:
S = Valore della sottostante
K = Prezzo di esercizio dell’opzione
T = tempo residuo alla scadenza (maturity)
r = tasso risk free corrispondente alla durata residua dell’opzione
σ^2 = variazione del logaritmo naturale del valore dell’attività sottostante

C=SN(d_1 )-Ke^(-rT) N(d_2 )

d_1=([ln⁡(S/K)+(r+0,5*σ^2 )T])/(σ√T )

d_2=d_1- σ√T

Dove e^(-rT) rappresenta il fattore di attualizzazione del prezzo d’esercizio.
N(d_1 ) è la probabilità, stimata utilizzando la distribuzione normale cumulata standardizzata, di osservare un valore uguale o minore di d_1. N(d_2 ) è la probabilità, stimata utilizzando la distribuzione normale cumulata standardizzata, di osservare un valore uguale o minore di d_2.

Applicazione Numerica

Per quanto riguarda il calcolo del valore di una call europea, si suggerisce che nel momento in cui si procede ad effettuare i calcoli si avanzi secondo i seguenti steps:
Calcolare d_1 e d_2 ,
Procedere alla determinazione di N(d_1 ) e N(d_2 ) tramite interpolazione dei valori sulla tavola delle probabilità della curva normale standardizzata,
Sostituire i valori nella formula finale e procedere al calcolo dell’opzione.
Qui un esempio:
S = 50 X = 45 r = 5% T = 1 σ=20%

Calcolare d_1 e d_2

d_1=([ln⁡(50/45)+(0,05+0,5*〖0,20〗^2 )1])/(0,20√1 ) = ([0,1053+(0,05+0,02)1])/(0,20√1 )= ([0,1753])/(0,20 )=0,8765

d_2= 0,8765 – 0,20 = 0,6765

Procedere alla determinazione di N(d_1 ) e N(d_2 ), tramite interpolazione dei valori sulla tavola delle probabilità della curva normale standardizzata:
N(d_1 )= N(0,8765)=0,8078
N(d_2 )= N(0,6765)=0,7486
Sostituire i valori nella formula
C=50*0,8078 -45e^(-0,05*1) 0,7486= 40,39 -35,4141 = 4,9759
C= 4,9759
Il valore di una call europea è 4,9759.

Fonti:
– Black, F. e Scholes, M., “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, in Journal of Political Economy,81, pp. 637-654, Maggio-giugno 1973.
– Black, F., “How We came up with the Option Formula”, in Journal of Portfolio Managment, 15, pp. 4-8, 1989

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